内容简介

本讲义并非专著，但数学分析是攻读数学的同学们的一门不能掉以轻心的基础课。在数学分析学习过程中得到的知识和训练会深远地影响想进入近代数学殿堂的年轻人以后的学习与工作。干巴巴地记住几个数学分析中概念的定义和刻画这些概念之间联系的定理，而缺乏了解和利用这些概念及其相关的知识去解决有一定难度的问题的经验，想要深刻理解数学分析的内容是困难的，进而当面对需要灵活应用数学分析的知识去解决有价值的问题时，在知识和技巧的积累上以及在心理准备上都会感到不足，难免怯场。为了不给同学造成在以后的学习中不得不放弃学习一门本来可以很好地学下去的后继课程或在选择研究课题时不得不放弃进入一个很有价值的研究领域那样的伤害，本讲义的每一章都附有一些难度不等的习题，在有些章的最后还附有补充教材。它们是本讲义不可缺少的组成部分。本讲义的习题除了提供利用已学知识去解决问题的训练外，还补充了一些正文中没有介绍的有用知识，有的在本讲义的后继章节中就要用到。英国数学家Littlewood在20世纪中叶对20世纪（特别是20世纪上半叶）数学的汹涌澎湃的公理化趋势感叹道：“伟大的公式数学的时代似乎已经过去了。”为了不使同学产生这样一种错觉：近代数学似乎只关心抽象的存在性问题，在本讲义的习题中初步介绍了一些关于超几何函数，г函数，B函数，正交多项式和渐近分析的知识。这是因为特殊函数与渐近分析（属于公式数学）这些古老而有用的数学在20世纪后半叶又有了强劲的复兴和发展。在本讲义的补充教材和习题中还尽可能地揭示数学与其他科学，特别是物理学的联系。本讲义的一个宗旨是让同学们在学习近代数学之初就注意到数学与大自然规律之间的不应被人为地割裂的紧密联系。在补充教材和习题中，我们介绍了谐振动，阻尼振动，强迫振动和非线性单摆与椭圆函数，分析力学中的Lagrange方程组，Hamilton方程组，最小作用量原理和Hamilton原理以及电磁理论中的Maxwell方程组及其微分形式的表达方式等。我们这样做，当然，不能替代大学物理课，这只是想提醒同学，数学是人类在认识和理解大自然的过程中诞生和发展的。同学们应该认识到：本讲义的正文介绍的数学分析的主要概念及这些概念之间的基本联系只构成了数学分析内容的骨骼。经历了用数学分析知识去解决问题的足够多的训练，并充分理解了数学分析与其他科学分支之间的联系方式后，同学们学到的数学分析才会是有血有肉的。我们鼓励任何想要真正掌握数学分析这个数学工具，包括立志从事数学研究或把数学作为今后（非数学）研究工作的不可缺少的工具的同学尽可能多地完成这些习题，并尽可能多地阅读书中的补充教材。它们是本讲义不可缺少的部分。讲义常把习题中的一个问题分割成许多小题，希望这能帮助同学独自，或在独立思考的基础上与其他同学讨论后，去探索解决问题的途径。试着用自己的大脑去探索，不管成功与否，都是进入近代数学殿堂前的不可或缺的经验。顺便说一句，由于习题的重要性，在清华大学和北京大学教数学分析课时，极大部分的习题课和极大部分的答疑都是由笔者自己担任的，这是为了使同学们通过认真思索而学好这门有相当多难点的数学分析课程而不得不采取的措施。
数学教学改革的核心是数学教学内容的取舍，而后者又取决于教师对数学和数学应用未来发展的展望。尽管作了很多努力，由于知识及能力的限制，要判断数学和数学应用未来发展的趋势对于笔者来说实在是力不从心的。不得已时，只得借鉴于已有的国内外教材而做出冒失的估计，因而在选材和布局安排上，谬误和不妥之处一定很多。笔者衷心希望读者以任何方式对本讲义给予批评指正。本讲义若能对想要认真学习数学分析的我国青年有所帮助，笔者的目的就算达到了。